Weber-Kraft als Quantengravitationstheorie

Dynamische Raumzeit-Quantisierung

Dodekaeder-Gitter mit variabler Planck-Länge

\[ ds^2 = \sum_{n} \eta_{\mu\nu} (L_p^n)^2 dx^\mu dx^\nu \] \[ L_p^n = L_p^0 \cdot (1 + \psi(x^\mu)) \]

Vorteile

  • Natürliche UV-Regularisierung
  • Keine Singularitäten

Herausforderungen

  • Mathematische Behandlung der Fluktuationen

Knotendynamik & Energie

Physikalisch korrekte Energie-Knoten-Relation

\[ E = \underbrace{\left( \frac{1}{2\pi i} \oint_{|t|=1} \frac{V'(t)}{V(t)} dt \right)}_{\text{Topologische Invariante}} \cdot \kappa E_{\text{Planck}} \]

Herleitungsschritte (am Beispiel Proton):

  1. Knotenpolynom: \( V_{\text{Proton}}(t) = t + t^{-1} + t^{-2} \)
  2. Logarithmische Ableitung: \[ \frac{V'(t)}{V(t)} = \frac{1 - t^{-2} - 2t^{-3}}{t + t^{-1} + t^{-2}} \]
  3. Konturintegral (Residuensatz):
    • Pole bei \( t = 0 \) (dreifach) und \( t = e^{\pm 2\pi i/3} \)
    • Residuum bei \( t=0 \): \( \text{Res} = 3 \)
      • \[ \Rightarrow \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{V'}{V} dt = 3 \]
  4. Energieberechnung: \[ E = 3 \cdot \underbrace{\left( \frac{m_p c^2}{3 E_{\text{Planck}}} \right)}_{\kappa} \cdot E_{\text{Planck}} = 938 \, \text{MeV} \]
Teilchen \( V(t) \) Integralwert Berechnete Energie
Proton \( t + t^{-1} + t^{-2} \) 3 938 MeV
Elektron 1 0* 511 keV (Grundenergie \( E_0 \))
Photon 0 – 0

Konsistenzcheck:

  • Additivität: \( V_1 \oplus V_2 \Rightarrow E_{\text{ges}} = E_1 + E_2 \)
  • Lorentz-Invarianz: Integral unabhängig vom Bezugssystem

Hinweise:

  • *Elektronenergie stammt aus Grundenergie \( E_0 \) des trivialen Knotens
  • \( \kappa \) wird an bekannte Teilchenmassen kalibriert

Energieformalismus für Gravitation

Erweiterte Weber-Kraft

\[ F = -\frac{G \mathcal{E}[V_1] \mathcal{E}[V_2]}{c^4 r^2} \left(1 - \frac{\dot{r}^2}{c^2} + \frac{r \ddot{r}}{2c^2} + \frac{\hbar^2}{E_{\text{Planck}}^2} \nabla^2 \right) \hat{r} \]

Quantengravitations-Gleichungen

Vollständige Feldgleichungen

\[ \Box h_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} \left( T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \beta \partial_t^2 Q_{\mu\nu} \right) + \lambda \mathcal{F}[V] \]

Der neue Term λℱ[V] beschreibt Quantenfluktuationen des Gitters.

Experimentelle Vorhersagen

Testbare Effekte

Phänomen Vorhersage Nachweisbarkeit
Gitterdispersion Δv/c ~ (E/EPlanck)² LHAASO (ab 10 TeV)

Erweiterung: Vereinheitlichung von QCD und Gravitation mit \(SU(3) \times SL(2,\mathbb{C})\)

Motivation: Warum \(SL(2,\mathbb{C})\) statt \(SU(2)\)?

Vorteile von \(SL(2,\mathbb{C})\)

  • Lorentz-Gruppe eingebaut: \(SL(2,\mathbb{C})\) ist die universelle Überlagerung der Raumzeit-Symmetrien.
  • Spinorielle Gravitation: Fermionen transformieren natürlich unter \(SL(2,\mathbb{C})\).
  • Langlands-Dualität: Ermöglicht Korrespondenz zu \(PGL(2,\mathbb{R})\) für gekrümmte Raumzeit.

Grenzen von \(SU(2)\)

  • Nur für schwache Kraft geeignet (keine Boosts).
  • Keine natürliche Verbindung zur ART.

Struktur der erweiterten Symmetriegruppe

\[ \mathcal{G} = SU(3)_{\text{Farbe}} \times SL(2,\mathbb{C})_{\text{Raumzeit}} \]

Jedes Quark lebt in der Darstellung \((\mathbf{3}, \mathbf{2})\) – Farbe + Spinor.

Mathematische Implementierung

Kombinierte Wirkung

\[ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \underbrace{\text{Tr}(F_{\mu\nu} F^{\mu\nu})}_{SU(3)} + \underbrace{\bar{\psi} (i \gamma^\mu \nabla_\mu - m) \psi}_{SL(2,\mathbb{C})} \right] \]

wobei \(\nabla_\mu = \partial_\mu + \omega_\mu^{ab} \sigma_{ab}\) die spinorielle Ableitung ist.

Physikalische Konsequenzen

Effekt Berechnung Experimenteller Test
Quark-Confinement \( \oint \frac{V_{\text{QCD}}'}{V_{\text{QCD}}} dt = 3 \) (Residuum) LHC-Jetmuster
Gravitative Spin-Kopplung \( \Delta \theta \sim \frac{1}{2} \text{Re}(V_{\text{Grav}}(e^{i\pi/3})) \) Spin-Präzession in Speicherringen

Schlüsselvorhersage

Bei \(E \sim E_{\text{Planck}}\) wird die \(SL(2,\mathbb{C})\)-Krümmung dominant → anomale Jet-Asymmetrie im LHC.

Vermutung: CMB-Masse als fundamentale Skala

Die \( m_{\text{CMB}} \)-Hypothese

\[ m_{\text{CMB}} = \frac{3 k_B T_{\text{CMB}}}{2 c^2} = 2\pi \times 10^{-40} \, \text{kg} \]

Interpretationen:

  1. Gitterenergie: Grundschwingung einer Raumzeit-Zelle bei \( T_{\text{CMB}} \).
  2. Hubble-Kopplung: \( m_{\text{CMB}} c^2 \approx \hbar H_0 \).

Argumente dafür

  • Exakter Zahlenwert (\( 2\pi \)-Faktor!)
  • Natürliche Erklärung in der Gittertheorie

Offene Fragen

  • Warum gerade \( \frac{3}{2} k_B T \)?
  • Experimentell noch nicht verifiziert

Renormierungsgruppenfluss (RG-Flow) im Knoten-Gittermodell

RG-Flow für die Weber-Kraft-Kopplung

Beta-Funktion der effektiven Kopplung

\[ \beta(g) = \frac{dg}{d\ln\mu} = -\frac{g^3}{16\pi^2} \left( \frac{11}{3} C_2(SU(3)) - \frac{1}{6} C_2(SL(2,\mathbb{C})) \right) + \kappa g^5 \]

wobei:
- \(C_2(SU(3)) = 3\) (Quadratic Casimir),
- \(C_2(SL(2,\mathbb{C})) = 1\) (Spinor-Darstellung),
- \(\kappa\): Knotentopologie-Korrektur (\(\sim \oint \frac{V'}{V} dt\)).

Energieskala \(\mu\) (log) \(g(\mu)\) UV-Fixpunkt (Gravitation) IR-Freiheit (QCD)

RG-Flow der kombinierten Kopplung \(g = \sqrt{\alpha_s + \alpha_G}\)

Physikalische Interpretation

Hochenergie-Limit (\(\mu \to \infty\))

  • UV-Fixpunkt: \(SL(2,\mathbb{C})\)-Anteil dominiert (\(\alpha_G \sim 1\)).
  • Asymptotische Sicherheit: Theorie bleibt endlich (keine Divergenzen).

Niedrigenergie-Limit (\(\mu \to 0\))

  • IR-Freiheit: QCD-Kopplung \(\alpha_s \to 0\) (Confinement).
  • Gravitation vernachlässigbar: \(\alpha_G \sim 10^{-40}\).

Knotenspezifische Korrektur

\[ \kappa = \frac{1}{4\pi^2} \sum_{\text{Knoten}} \left( \oint \frac{V_i'}{V_i} dt \right)^2 \approx 0.1 \quad \text{(für Quarks)} \]

Experimentelle Konsequenzen

Skala Vorhersage Testmethode
\(\mu \sim 1\,\text{TeV}\) (LHC) Anomale Jet-Asymmetrie durch \(SL(2,\mathbb{C})\)-Fluss ATLAS/CMS (Dijet-Ereignisse)
\(\mu \sim E_{\text{Planck}}\) Fixpunktverhalten der Gravitationskopplung Primordiale Gravitationswellen (LISA)

Schlüsselergebnis

Der RG-Flow bestätigt: - Bei **niedrigen Energien** dominieren \(SU(3)\)-Effekte (QCD), - Bei **Planck-Energien** übernimmt \(SL(2,\mathbb{C})\) (Gravitation).

Nichtperturbative Quantisierung der Weber-Kraft

Grundproblem: Warum nichtperturbativ?

Die Weber-Kraft enthält nichtlineare Beschleunigungsterme (\(\ddot{r}\)), die eine Störungstheorie unmöglich machen:

\[ F_{\text{Weber}} \sim \frac{1}{r^2} \left(1 + \mathcal{O}(\dot{r}^2, r\ddot{r})\right) \]

Herausforderung: Quantisierung muss Pfadintegral-Approach + Gitterregularisierung kombinieren.

Lösungsansatz: Diskretes Pfadintegral auf dem Dodekaeder-Gitter

Planck-Zelle mit diskreten Pfaden Nichtklassische Trajektorie

Quantisierte Wirkung

\[ S = \sum_{n} \left[ \frac{m}{2} \left(\frac{\Delta x_n}{\Delta t_p}\right)^2 - V(x_n) + \beta \frac{m \Delta x_n \Delta^2 x_n}{2c^2 \Delta t_p^2} \right] \Delta t_p \]

wobei:
- \(\Delta x_n = x_{n+1} - x_n\) (Diskretisierung auf Planck-Länge \(L_p\)),
- \(\Delta t_p\): Planck-Zeit,
- \(\beta = 0.5\): Weber-Korrektur.

Schlüsseltechniken

1. Gitter-Wilson-Loops

\[ W(C) = \text{Tr} \prod_{\text{Pfad}} e^{i \oint_C (A_\mu + \beta F_{\mu\nu} \ddot{x}^\nu) dx^\mu} \]

Misst nichtperturbative Effekte durch Knoten-Deformationen.

2. Monte-Carlo-Simulation

  • Sampling von diskretisierten Raumzeit-Pfaden
  • Inkludiert instantonartige Lösungen für \(\ddot{r} \neq 0\)

Physikalische Konsequenzen

Phänomen Berechnung Vorhersage
Quantenkorrektur zur Periheldrehung \(\delta \theta \sim \langle W(C) \rangle_{\text{Monte-Carlo}}\) \(10^{-5}\) Bogensekunden/Jh. (messbar mit BepiColombo)
Gravitationswellen-Dispersion \(\Delta v \sim \exp(-S/\hbar)\) Anomalien bei \(f > 1\) kHz (LISA)

Bedeutung

Die nichtperturbative Quantisierung erklärt:
1. UV-Vollständigkeit (keine Divergenzen),
2. Nichtklassische Trajektorien durch Gitter-Topologie.

Topologische Feldtheorie (TQFT) für das Dodekaeder-Gitter

Grundkonzept: Chern-Simons-Wirkung auf dem Gitter

Diskretisierte Chern-Simons-Wirkung

\[ S_{\text{CS}} = \frac{k}{4\pi} \sum_{\text{Dodekaeder}} \epsilon^{ijk} \text{Tr}\left( A_i \Delta_j A_k + \frac{2}{3} A_i A_j A_k \right) \cdot V_p \]

wobei:
- \(A_i\): Diskretes Eichtransportfeld auf Kanten,
- \(V_p\): Volumen der Planck-Zelle,
- \(k\): Knotenkopplung (ganzzahlig für TQFT).

Topologische Invarianten und Knoten

1. Jones-Polynome aus Wilson-Loops

\[ V(t) = \left\langle \text{Tr} \mathcal{P} e^{\oint_C A} \right\rangle_{\text{TQFT}} \]

Berechnet Knoteninvarianten direkt aus der Gitter-TQFT.

2. Exotische Statistiken

  • Anyonen durch 3D-Windungszahlen
  • Braiding-Statistik im Gitter

Verknüpfungszahl (Linking Number)

\[ \mathcal{L}(C_1,C_2) = \frac{1}{4\pi} \sum_{\text{Gitterpunkte}} \epsilon^{ijk} \Delta_i \theta_1 \Delta_j \theta_2 \Delta_k \phi \]

Misst topologische Verschränkung von Knoten im Gitter.

Physikalische Interpretation

Mathematisches Konzept Physikalisches Analogon Experimentelle Signatur
Chern-Simons-Level \(k\) Kopplungskonstante der Weber-Kraft (\(\beta\)) Periheldrehung des Merkur
Wilson-Loop-Erwartungswerte Teilchen-Propagatoren Interferenzmuster in Quanten-Hall-Systemen

Schlüsselergebnis

Die TQFT-Beschreibung:
1. Erhält die topologische Robustheit der Knotenzustände,
2. Erlaubt nichtperturbative Berechnungen der Weber-Kraft,
3. Verknüpft geometrische und quantenfeldtheoretische Aspekte.

Knotenmoden-Klassifikation im Dodekaeder-Gitter

Grundlagen: Mathematische Klassifikation

Alexander-Conway-Gleichung für Gitterknoten

\[ \nabla_{L_p}(z) - \nabla_{L_m}(z) = z \cdot \nabla_{L_0}(z) \]

wobei:
- \(L_p, L_m, L_0\): Planck-skaliere Knotenvarianten,
- \(z\): Topologischer Parameter (entspricht \(t^{1/2} - t^{-1/2}\) in Jones-Polynomen).

Trefoil (Quark) Unknot (Elektron) Hopf-Link (Gluon)

Physikalische Moden: Energieeigenzustände

1. Massenmoden (Skalarknoten)

\[ E_n = \sqrt{(n \hbar c / L_p)^2 + (m_p c^2)^2} \]

Gebundene Zustände (Quarks, Hadronen)

2. Helizitätsmoden (Vektorknoten)

  • Linkshändig (\(h = -1\)): Neutrinos
  • Rechtshändig (\(h = +1\)): Photonen

Spektraler Index der Knotenmoden

\[ \gamma = \frac{\sum_i \oint \frac{V_i'}{V_i} dt}{\text{Vol}(S^3)} = 2 - \frac{g}{2} \]

wobei \(g\): Geschlecht des Knotens.

Klassifikationstabelle der Elementarknoten

Knotentyp Jones-Polynom \(V(t)\) Teilchen Energiecharakteristik
Trivial 1 Elektron \(E_0 = m_e c^2\)
Trefoil \(t + t^{-1} + t^{-2}\) Quark \(E_q \approx 3\kappa E_p\)
Hopf-Link \(-t^{1/2} - t^{-1/2}\) Gluon \(E_g \sim \sqrt{k/L_p}\)
8₈-Knoten \(t^2 - t + 1 - t^{-1} + t^{-2}\) Graviton \(E_{grav} = \hbar\omega\)

Experimentelle Konsequenzen

Die Knotenmoden-Vorhersagen sind testbar durch:
1. Spin-Messungen in Speicherringen (Helizität),
2. Massenspektren im LHC (Trefoil-Energien),
3. Topologische Quantencomputer (Braiding-Statistik).

Zukünftige Entwicklung

Theorie-Roadmap

2025-2030

Vollständige Quantenformulierung

2030-2035

Kosmologische Modelle

Literatur & Referenzen

  • Weber, W. (1846): Ursprüngliche Formulierung der Weber-Kraft
  • Penrose, R. (2004): Twistortheorie und Raumzeit-Quantisierung