Vollständige Beschreibung der Merkurbahn in Weber-Gravitation

Kartesische Darstellung der Bahngleichungen

1. Grundgrößen und Konstanten

Symbol Bedeutung Wert für Merkur Einheit
G Gravitationskonstante 6.67430 × 10-11 m³ kg⁻¹ s⁻²
c Lichtgeschwindigkeit 299,792,458 m/s
M Masse der Sonne 1.989 × 1030 kg
a Große Halbachse 5.79 × 1010 m
e Exzentrizität 0.2056 -

2. Abgeleitete Größen

Spezifischer Drehimpuls:

\[ h = \sqrt{GM a (1 - e^2)} \approx 2.713 \times 10^{15} \, \text{m}^2/\text{s} \]

Relativistischer Korrekturfaktor:

\[ \kappa = \sqrt{1 - \frac{6GM}{c^2 a (1 - e^2)}} \approx 0.999983 \]

3. Kartesische Bahngleichungen

3.1 Positionsvektor r⃗(φ)

\[ \vec{r}(\phi) = \begin{pmatrix} x(\phi) \\ y(\phi) \end{pmatrix} = r(\phi) \begin{pmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi \end{pmatrix} \]

Mit der Bahngleichung:

\[ r(\phi) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\kappa \phi)} \left[1 + \frac{3G^2M^2}{c^2 h^4}\left(1 + \frac{e^2}{2} + e\phi \sin(\kappa \phi)\right)\right] \]

3.2 Geschwindigkeitsvektor v⃗(φ)

\[ \vec{v}(\phi) = \begin{pmatrix} v_x(\phi) \\ v_y(\phi) \end{pmatrix} = \dot{r}(\phi) \begin{pmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi \end{pmatrix} + r(\phi)\dot{\phi} \begin{pmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \end{pmatrix} \]

Mit den Komponenten:

\[ \dot{r}(\phi) = \frac{h e \kappa \sin(\kappa \phi)}{a(1 - e^2)} \] \[ \dot{\phi}(\phi) = \frac{h}{r(\phi)^2} \]

3.3 Winkelgeschwindigkeit ω(φ)

\[ \omega(\phi) = \dot{\phi}(\phi) = \frac{h}{r(\phi)^2} \]

4. Implementierungshinweise

Für numerische Berechnungen:

  1. Berechne r(φ) aus der Bahngleichung
  2. Leite daraus v⃗(φ) ab
  3. Die Winkelgeschwindigkeit folgt direkt aus ω(φ) = h/r(φ)²

Beispiel für φ = 0 (Perihel):

\[ \vec{r}(0) = \begin{pmatrix} a(1-e) \\ 0 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 4.6 \times 10^{10} \\ 0 \end{pmatrix} \text{m} \] \[ \vec{v}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{\frac{GM}{a(1-e^2)}}(1+e) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0 \\ 59 \times 10^3 \end{pmatrix} \text{m/s} \]

5. Physikalische Interpretation

Effekt Mathematische Ursache Konsequenz
Periheldrehung κ ≠ 1 (Relativistischer Korrekturfaktor) Bahn schließt sich nicht nach 2π
Geschwindigkeitsmodulation Terme mit 1/c² in v⃗(φ) Variation der Bahngeschwindigkeit
Energieerhaltung Spezifische Form der Weber-Kraft Modifiziertes Potential

6. Gültigkeitsbereich

Diese Gleichungen sind gültig für:

Für starke Felder (z.B. nahe Schwarzen Löchern) muss die Allgemeine Relativitätstheorie verwendet werden.