Kleeblattkurven
Zusammenfassung
Text Nr. 54103 der Internetbibliothek für Schulmathematik (Friedrich W. Buckel, 11.05.2016, mathe-cd.de) rechnet die Mathematik der n-blättrigen Rosen konkret durch: Gleichungsformen in Parameter- und Polardarstellung, Extrempunkte, Krümmungskreis, Tangenten im Dreifachpunkt sowie Flächenberechnungen mit vier Lösungswegen. Die Integrale gelten laut Autor als „sehr schwer“ – für Studenten dringend empfohlen; theoretisches Fundament ist Text 54011 (Differentialgeometrie).
Inhalt
Gleichungsformen
- Parameterform:
x(t) = a·sin(b·t)·sin(t),y(t) = a·sin(b·t)·cos(t).- Ungerades b: t ∈ [0; π[, b = Anzahl der Blätter. Gerades b: t ∈ [0; 2π[, 2b = Anzahl der Blätter.
- a = Radius des Ursprungskreises, den die Blätter von innen berühren.
- Polarform:
r = a·sin(b·φ + α); z. B. r = 4·sin(3φ + ½π), r = 4·sin(3φ), r = 4·cos(3φ) (alles dreiblättrig). - Alternative Parametrisierung des dreiblättrigen Kleeblatts:
x(t) = 2(cos t + cos 2t),y(t) = 2(sin t − sin 2t).
Extrempunkte (dreiblättrige Kurve)
- x-Richtung: Bedingung x’(t) = 0 führt auf Nullprodukt sin(t)·(1 + 4·cos(t)) = 0 → t = 0 (Maximum, „Rechtspunkt“ R₁(2 | 0)) und t ≈ 1,82 bzw. 4,46 (Minima L₁(−1,12 | 1,45), L₂(−1,12 | −1,45)). In allen vier Randpunkten senkrechte Tangenten.
- y-Richtung: Substitution z = cos(t) ergibt 4z² − z − 2 = 0 → z ≈ 0,8431 bzw. −0,5931; Punkte u. a. H₂(−0,89 | 1,76), T₁(1,26 | −0,37).
- Insgesamt 7 Extrempunkte: 2 Hoch-, 2 Tief-, 2 Linkspunkte, 1 Rechtspunkt.
Krümmungskreis
- Krümmung
k = (y''·x' − x''·y') / (x'² + y'²)^(3/2); am Punkt R₁ (t = 0): k = 5. - Krümmungsradius r = 1/k = 0,2; Mittelpunkt MKK(1,8 | 0); Kreisgleichung
(x − 1,8)² + y² = 0,04.
Tangenten im Dreifachpunkt O
- x(t) = 0 → quadratische Gleichung 2cos²(t) + cos(t) − 1 = 0 → cos(t) = ½ (t = π/3, 5π/3) oder −1 (t = π).
- Tangentensteigungen ±√3⁄3; dritte Tangente senkrecht:
T₁: y = −√3/3 · x,T₂: y = +√3/3 · x,T₃: x = 0.
Flächeninhalt eines Blattes
- Parameterdarstellung:
A = ½ ∫₀^{π/3} (y·x' − x·y') dt= πa²/12 (für a = 2 also π/3 FE). - Polarkoordinaten (
F = ∫ ½·r(φ)² dφ): r = 2·sin(3φ) über [0; π/3] bzw. r = 2·cos(3φ) über [−π/6; π/6]; je zwei Wege (partielle Integration; trigonometrische Umformung mit cos²(3t) = ½cos(6t) + ½) liefern ebenfalls π/3. - Nebenprodukt: ∫sin²(3t)dt = −⅙ sin(3t)·cos(3t) + t/2 (partielle Integration als Gleichung gelöst).
Vierblättrige Kleeblätter und Merkwürdigkeiten
- Beispiel a = 4, b = 2: Kurve durchläuft die vier Quadranten nacheinander in Teilintervallen [0; π/2[, [π/2; π[ usw. (Durchlaufrichtung per Kreisbogenpfeil visualisiert, erstellt mit MatheGrafix).
- Vertippte Argumente (z. B. sin(4t) statt sin(2t) in einer Komponente) erzeugen überraschende neue Formen – Anregung zum eigenen „Zaubern“; sogar die Unterschrift eines Arztes lässt sich als Kleeblattkurve darstellen.
Quellen
raw/54103 Kleeblattkurven.pdf– Friedrich W. Buckel, Text 54103, Internetbibliothek für Schulmathematik (mathe-cd.de), 11.05.2016